第20回調和解析中央大セミナー

時間：13:30～15:00

講演者 (所属): 中村 昌平 氏 (首都大学東京)
題目: フーリエ拡張作用素に対する重み付き不等式へのX-rayトモグラフィーによるアプローチ
概要: 本講演はBirmingham大学のJonathan Bennett教授との共同研究に基づきます．調和解析学における大きな未解決問題の１つであるフーリエ制限予想は，フーリエ拡張作用素と呼ばれる超曲面上のフーリエ変換に関する予想です．我々のナイーブなアイデアは，このよくわからない数学的対象であるフーリエ拡張作用素をX-rayでスキャンしてみてその性質を調べてみようというものです．このアイデアの源流は，Planchon-Vega (2008)によるbilinear virial identityを用いたシュレディンガー方程式の解析にあります．本講演では，このナイーブなアイデアが実際にフーリエ制限予想に関連する理論に対しても有効であることを，フーリエ拡張作用素の重み付き不等式に対する予想，すなわち Stein予想とMizohata-Takeuchi予想を通して説明したいと思います．テクニカルな部分では不思議なことに特異性を打ち切ったbilinear Hilbert transform（したがってオリジナルのものと比べると扱いやすい）が顔を覗かせたので，その関連を述べたいと思います．時間が許せば，我々のアプローチから自然に生じた，フーリエ制限予想と掛谷予想の中間に位置する予想についても紹介できればと思います．

時間：15:30～17:00

講演者 (所属): Giuseppe Di Fazio 氏 (カターニア大学)
題目: Gradient Estimates for weak solutions of Elliptic PDE's
概要: Let us consider an elliptic equation of second order in variational form i.e.
$$ \dive (A(x)\nabla u) = \dive f $$
in a bounded domain $\Omega \subset \R^n$ where the function f belongs to some suitable function space. The gradient estimates problem is very important both from theoretical and applied point of view. In this talk we exploit what is the heart of the technique to show gradient estimates allowing the function f to belong to very general function spaces. Our technique is very flexible and allow to show existence, uniqueness and well posedness of the Dirichlet problem in several classes. As an example we will give the result in $W^{1,p}_0$.